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Tito Eliatron Dixit



Blog sobre curiosidades matemáticas: citas, acertijos, problemas...



Last Build Date: Tue, 23 Jan 2018 07:26:05 PST

 



La vida secreta de los números. Parte III: De cero a lo más complejo.

Mon, 11 Dec 2017 01:20:42 PST

El presente artículo es la segunda parte de "La Vida Secreta de los Números" que fue publicado en verano de 2012 en el nº2 de la Revista Amazings (hoy Naukas).Ir a la Parte I - Parte II. Hasta ahora hemos visto cómo se construye el edificio matemático de los números y cómo comienza la historia de la construcción humana de los mismos. Aunque ambos comiencen igual, ya hemos apreciado bastantes diferencias. Y la cosa aún es más diferente a partir de ahora.Y el cero encontró su sitio.El siguiente gran descubrimiento numérico es la aparición del cero. Son diversas las culturas antiguas (Egipto, Babilonia o Grecia) de las que se dispone de documentos matemáticos o astronómicos en los que aparecen símbolos indicativos de la nada, pero por diversas particularidades de sus sistemas de numeración no siguieron avanzando en el concepto numérico del cero. En particular, la primera aparición de un símbolo para este número tiene lugar en las postrimerías de la civilización babilónica. Aunque su sistema de numeración era de carácter posicional, ya vimos que ante la ausencia de una determinada posición, no escribían símbolo alguno. Sin embargo en sus dos últimos siglos de historia, alrededor del año 400 de nuestra era, aparece un rudimentario símbolo (dos cuñas) para indicar que en esa posición no hay número. El cero acaba de entrar en escena, al menos, como símbolo o signo de puntuación.Glifo maya para el ceroEn la América precolombina también se tiene constancia del uso del cero. Concretamente, el calendario de tres posiciones de la cultura maya, implica el uso de algún símbolo (glifo) para la ausencia de unidades en determinadas posiciones. En cualquier caso, parece que el uso del cero en el continente americano es anterior a los mayas y se cree que su verdadero origen data de la cultura de los olmecas.En Europa, el primer documento en el que aparece un símbolo para el cero (un círculo con una pequeña barra sobre él) es de Claudio Ptolomeo en el Almagesto (año 150 de nuestra era). Simplemente se trata de retomar el clásico sistema posicional babilónico con un símbolo específico. Sólo unos pocos astrónomos siguieron esta notación que pronto cayó en desuso.Pero sin lugar a dudas la principal aportación al concepto de cero se produce en la cultura hindú (y que nos llega gracias a la civilización árabe). De hecho, la palabra cero, etimológicamente proviene de la transcripción del sánscrito (shunya) al árabe (sfir). En la obra Brahmasphutasiddhanta (en torno al 650 de nuestra era) es donde podemos decir que el cero es tratado, por primera vez, como número de pleno derecho. En ella se trata con detalle la numeración posicional y se estudian las diferentes operaciones aritméticas con respecto al cero (y a otros números). Quizás lo más sorprendente es que se afirma que $0/0=0$, mientras que $a/0$ (con $a\ne 0$) es simplemente la fracción que tiene por denominador al $0$ (os recuerdo que tanto $0/0$ como $a/0$, no tienen sentido como operaciones aritméticas). Todas estas aportaciones llegaron finalmente a occidente gracias al matemático árabe, Al-Juarizmi.Y llegaron las deudas: los números negativos.Tal y como ocurre hoy en día en los colegios, la mejor forma de entender y aceptar los números negativos es hablar de deudas y beneficios. Y así surgen por primera vez estos números.Sus primeros pasos los dan en la obra Jiuzhang Suanshu (Nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas), un documento compilado a lo largo de varios años y que algunos investigadores datan en torno al comienzo de nuestra era. En esta obra se habla, entre otros muchos problemas, de temas de contabilidad y finanzas (capítulos VI y VII) y resolución de ecuaciones lineales (Capítulo VIII). En este último, se trata de explicar el concepto de número negativo. Como curiosidad, y al contrario que nuestras costumbres actuales, se utilizaban cuentas rojas para los números positivos y negras para los negativos.Sin embargo, durante mucho tiempo, los números negativos no calaron en los matemáti[...]



La vida secreta de los números. Parte II: Una historia cronológica de los números. De los naturales a los irracionales.

Sat, 09 Dec 2017 15:22:03 PST

El presente artículo es la segunda parte de "La Vida Secreta de los Números" que fue publicado en verano de 2012 en el nº2 de la Revista Amazings (hoy Naukas).Ir a la Parte I - Parte III.  Lo que habéis leído en la Parte I de este artículo no es la verdadera cronología de la aparición de los números. Lo que vais a leer a continuación tampoco lo será en un sentido estricto. Los diferentes conceptos numéricos han tenido muy diversos orígenes tanto en el espacio como en el tiempo. Desde un punto de vista formal, sería una historia de los números bajo la mirada de occidental (de Europa, concretamente). Y es que aunque nos sintamos el centro de la historia, al menos en matemáticas (que es de lo que yo sé, y no demasiado) resulta que hay muchas culturas con aportaciones tremendamente importantes y sin las cuales las matemáticas no podrían haberse desarrollado. Y el hombre creó los números naturales.Históricamente, los primeros números de los que se tienen noción son los naturales y surgen de la necesidad del hombre de contar. Pero estos números no aparecen tal y como los conocemos ahora, es decir, como todos los miembros de la sucesión 1, 2, 3, 4… sin fin. Ante las necesidades propias del hombre primitivo, tan sólo los primeros naturales son los que verdaderamente se hacen necesarios. Más allá del 7 o el 8, todo se convierte en un simple mucho.Hoy en día se pueden encontrar tribus con costumbres primitivas y aisladas de la verdadera civilización cuyo sistema de numeración (o mejor dicho, su forma de expresar verbalmente los números) es bastante rudimentario. Así, algunos nativos del Estrecho de Torres (que separa Australia de Nueva Guinea) utilizan el vocablo urapun para representar la unidad y okosa para representar la paridad (el dos); cuando quieren decir tres no tiene más que sumar y decir okosa-urapun y si lo que les preocupa son 5 pescados, basta con decir okosa-okosa-urapun. Es muy posible que algo similar ocurriera con nuestros antepasados.De todas formas, el hecho de que los hombres primitivos sólo tuvieran percepción de unos pocos números naturales no es nada extraño. También nos pasa a todos nosotros. Vamos a poner a prueba nuestra propia percepción de los números.A continuación voy a mostrar un dibujo dividido en dos partes. En cada una de ellas hay una cantidad determinada de objetos (manzanas, en particular). El objetivo es el siguiente: sin contarlos, es decir, a simple vista, ¿cuántas manzanas hay en la imagen de la izquierda? ¿y en la de la derecha?Prácticamente a todos los lectores les habrá resultado sencillo ver que eran 3 las manzanas de la imagen de la izquierda, mientras que no creo que hayáis sido muchos los que hayáis dicho que en la imagen de la derecha había 9. Y si lo habéis dicho, muchos de vosotros sois unos mentirosos por haber contado. Pues esto mismo ocurría en la antigüedad. El hecho de que no seamos capaces de percibir visualmente las cantidades hizo necesario el surgimiento de los números: los naturales. Podríamos decir que el dedo es más poderoso que el ojo.Poco a poco, las necesidades del hombre hicieron que se necesitara algo más elaborado que los sistemas okosa-urapun. Esta nueva contabilidad se llevaba a cabo mediante piedras: 1 por cada objeto a ser contado. El uso de piedras o calculi en el conteo, da origen etimológico a nuestro cálculo actual.Hueso de IshangoY  tras la contabilidad llega la escritura numérica. Pronto se aprendió que en vez de poner piedras por cada objeto a contar, era posible hacer señales en algún otro objeto, como un hueso de animal o utilizar cuerdas con piedras (precursoras del ábaco). Uno de los más importantes ejemplos es el Hueso de Ishango (hueso de babuino con inscripciones, hallado en el área de Ishango –entre Uganda y Congo-, data del paleolítico superior y se encuentra en el Royal Belgian Institute of Natural Sciences de Bruselas). Según algunos expertos, las inscripciones van más allá de la mera contabilidad y sugieren el conocimiento de alg[...]



La vida secreta de los números. Parte I: Números y su construcción.

Sat, 09 Dec 2017 15:22:19 PST

El presente artículo es la primera parte de "La Vida Secreta de los Números" que fue publicado en verano de 2012 en el nº2 de la Revista Amazings (hoy Naukas).Ir a la Parte II - Parte III.Cuando uno ve un número, automáticamente piensa en Matemáticas. Se podría decir que son el alfabeto de esta ciencia. Sin embargo, cuando uno se adentra en su conocimiento le produce algo de respeto. En este artículo pretendemos despojarlos de ese temor que suelen infundir y presentarlos tal y como surgieron. Para ello, vamos a ver su construcción y a contemplar la verdadera historia de los números, de la forma más cronológica posible. ¿Estáis preparados para conocer (una parte) de la verdad?¿Qué es un número?Comencemos por el principio, que para algo vamos a contar. ¿Qué es un número? Se trata de una pregunta muy simple… pero cuya respuesta no parece serlo. Los números son esos símbolos que utilizamos para contar, podríamos pensar. Esta definición, quizás la más intuitiva (la que daría cualquier niño), puede satisfacer a muchos, pero si lo pensamos bien, sólo contempla a los números naturales (1, 2, 3,…) ¿Qué pasa con los negativos? ¿Y con el 0? ¿Qué ocurre con las fracciones? Hay que ampliar este concepto. Según la Real Academia Española, en su primera acepción (la correspondiente a matemáticas), un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. Esta definición puede resultar bastante satisfactoria. Nuestra intuición puede que nos deje tranquilos: ya tenemos la respuesta. Pero si uno busca la definición de cantidad, la sexta acepción (de nuevo, la matemática) nos dice que se trata del número que resulta de una medida u operación. Vaya, una definición circular: un número es una cantidad, y una cantidad es un número. Bueno, no nos pongamos quisquillosos. Todo tiene arreglo.Para centrar ideas, podemos pensar que un número es la representación matemática de una cierta magnitud (longitud, área, volumen,…), y en cierto modo esta definición sí aparece en el Diccionario de la Real Academia Española (primera acepción de cantidad: porción de una magnitud). Pero si la aceptamos, ¿qué significa una longitud o un área negativa? Parece que algo sigue fallando.Tener una definición concreta y exacta de lo que es un número parece, pues, una ardua tarea. Lo es. Euclides, Leibniz, Kant… son tres ejemplos de pensadores que trataron de dar una respuesta. Según el Nobel de Literatura Bertrand Russell, la respuesta no llega hasta que Frege la proporciona en sus Fundamentos de la Aritmética (1884). Pero esta definición es poco manejable.Un número es cualquier cosa que es el número-de-clase de alguna clase, donde un número-de-clasees la clase de todas aquellas clases que son semejantes a ellas. De la necesidad de contar, a la filosofía, pasando por la geometría. El concepto de número resulta algo esquivo. Vamos a conformarnos con ir construyendo nuestros números de una forma consistente y luego veremos cómo van surgiendo históricamente.La construcción de los números.Para construir nuestro edificio, debemos partir de lo más básico. Y en nuestro caso se trata de los números naturales. Dijo Leopold Kronecker queDios inventó los naturales, el resto es cosa del hombre. Posiblemente, Kronecker tuviera en mente lo que vamos a ver a continuación.Nuestra construcción parte de los números naturales (que se denotan por $\mathbb{N}$), es decir, 1, 2, 3, 4,… Estos números surgen de la necesidad que tiene el hombre de contar (de ahí la ausencia del 0). Sin embargo, a la hora de construir un edificio consistente, conviene incluir el 0 en este conjunto.Varios han sido los matemáticos que han intentado fundamentar el concepto de número natural. En particular, destacamos a Cantor, quien se basó en su Teoría de Conjuntos para definir los naturales a partir del conjunto vacío; y a Peano, quien desarrolló una definición axiomática de los naturales, partiendo de la existencia de un primer elemen[...]



Moscas a cañonazos: raíces irracionalesde Fermat

Thu, 27 Apr 2017 00:15:00 PDT

La expresión matar moscas a cañonazos se utiliza cuando los medios usados para algún fin exceden con creces los límites de la racionalidad (para matar una mosca, basta con un matamoscas o incluso un periódico -de papel- enrollado). Pues bien, de esto mismo va esta minientrada: de racionalidad y de cañonazos.En este blog ya hemos visto varias demostraciones de la irracionalidad de $\sqrt{2}$. En esta entrada vamos a centrarnos en la irracionalidad de $\sqrt[n]{2}$ para cualquier $n>2$. Y como no podía ser de otra forma, lo vamos a hacer a cañonazos.Fijemos un número natural cualquiera $n>2$ y supongamos, por reducción al absurdo, que $\sqrt[n]{2}$ es racional. Esto quiere decir que existen $p,q\in{\mathbb N}$ tales que $\sqrt[n]{2}=\frac{p}{q}$.Si ahora elevamos ambos miembros de esta ecuación a la $n$-ésima potencia, resulta que $2=\frac{p^n}{q^n}$, o lo que es lo mismo, $2q^n=p^n$. Pero, básicamente, esto quiere decir que$$q^n+q^n=p^n$$Y claro, el Último Teorema de Fermat (sí, ese que demostró Andrew Wiles) afirma que esta ecuación identidad es imposible en los naturales.CAÑONAZO!Por cierto, este argumento no es mío. Básicamente está extraído de aquí:Back of the envelope proof that ∛2 is irrational pic.twitter.com/vSC17aAIUz— Fermat's Library (@fermatslibrary) 13 de abril de 2017Podríamos plantearnos exprimir este argumento para radicandos distintos de dos. Pero entonces pasa que si $\sqrt[n]{k}=p/q$ entonces $k\cdot q^n =p^n$ y para poder aplicar el UTF, lo más sencillo es tomas $k=2j^n$. Es decir, estaríamos diciendo que $\sqrt[n]{2j^n}$ es irracional, cosa que se deduce viendo que $\sqrt[n]{2j^n}=j\sqrt[n]{2}$ y estaríamos en el caso anterior.¿Podríamos poner otro número, en lugar de 2? para ello, deberíamos tener una versión diferente del UTF.Por ejemplo, si nos planteamos poner un 3, tendríamos que tener una versión del UTF pero con la ecuación $x^3+y^3+z^3=w^3$. Sin embargo, de ella ya se conocen soluciones enteras.Podriamos pensar en alguna extensión del UTF, pero lo único que he encontrado es la Conjetura de Euler, quien se preguntaba lo siguiente:Si es cierto que $\sum_{i=1}^n a_i^k=b^k$ para valores enteros de las bases, entonces debe ser $n\ge k$.El caso $k=3$ es, esencialmente, un caso particular del UTF (no existe solución entera de la ecuación $a_1^3+a_2^3=b^3$). Se sabe que a conjetura es falsa para $k=4$ y $k=5$. Pero no se sabe nada de lo que ocurre para $k\ge 6$. Pero claro, con esto no podemos ir a ningún lado.Tito Eliatron DixitPD:  Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.   Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Premio #CarnaMat81

Sat, 25 Mar 2017 08:36:39 PDT

Con algo de retraso, vamos a hacer oficial el fallo del jurado del Premio Carnaval de Matemáticas en su Edición 8.1.El ganador, con 17 puntos (4+4+4+4+1) es la entradaEl día que descubría a $pi$ de UNIR revista.Aquí dejo el distintivo del ganadorEl resto de entradas votadas han sido las siguientes:Con 7 puntos (4+2+1): Cómo detectar números primos usando el triángulo de Pascal.Con 6 puntos (2+2+2): Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (II).Con 4 puntos (4): La ilusión espiral de Fraser.Con 3 puntos (2+1):El empaquetamiento de esferas en 8 y 24 dimensiones. El rostro de las matemáticas: un juego para el aula. Con 1 punto:Las matemáticas de las fórmulas de puntuación de exámenes tipo test.Pasión por las matemáticas.Tito Eliatron DixitPD: Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta septuagésima segunda edición, también denominada 8.2, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.   Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Resumen de entradas de #CarnaMat81

Thu, 02 Mar 2017 06:40:06 PST

Desde el 21 al 28 de febrero se ha celebrado en este blog la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas. No sé si es porque he estado ausente o por otro motivo, lo cierto es que la participación ha sido escasa.A continuación os dejo con las entradas que han participado.El día que descubría a "pi" de UNIR revista.Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (I) de pimedios.Premio a la mejor entrada de la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas del Blog del IMUS. Las matemáticas de las fórmulas de puntuación de exámenes tipo test de Gaussianos.Pasión por las matemáticas de MATRYC.Paseos Matemáticos (Madrid) de Los matemáticos no son gente seria.Cómo resolver un juego de monedas con inducción matemática (II) de pimedios.Cómo detectar números primos usando el triángulo de Pascal de Gaussianos.El empaquetamiento de esferas en 8 y 24 dimensiones de La Ciencia de la Mula Francis. El rostro de las matemáticas: un juego para el aula de Tito Eliatron Dixit.La ilusión espiral de Fraser de matemáticas cercanas. Si me falta alguna, podéis decirlo en los comentarios.Pues bien, como siempre, se convoca el Premio a la Mejor Entrada de la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas. Para ello, podéis otorgar 4, 2 y 1 punto a las entradas participantes. Tenéis hasta el próximo 17 de marzo para votar.Mientras duren las votaciones, procederé a moderar los comentarios.Os esperamos el mes de marzo con la Edición 8.2 en El mundo de Rafalillo. Tito Eliatron DixitPD: Quiero dedicar esta entrada a una persona que no ha podido participar en esta edición. Una persona que, posiblemente, haya pasado durante la semana del Carnaval de Matemáticas, la peor semana de su vida. Una persona que hoy sabemos que vive aliviada. Gracias a ti, @ANUSKA72.     Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



El rostro de las matemáticas: Un juego para el aula

Thu, 23 Feb 2017 01:04:53 PST

En este artículo os voy a presentar un juego que, creo, se puede usar en las aulas de secundaria. Se trata de un Kahoot, un juego de preguntas y respuestas múltiples a través de dispositivos móviles, titulado El Rostro de las Matemáticas.El objetivo de este juego es muy simple: que quienes jueguen puedan reconocer qué cara tienen los matemáticos y matemáticas más conocidos.La dinámica del juego es muy sencilla. Para lanzar el juego, basta con hacer click en la imagen anterior o en El Rostro de las Matemáticas. Le das a PLAY e introduces las opciones del juego (re recomiendo hacer aleatorios los órdenes de las preguntas y respuestas). Entonces elige el tipo de juego (Clásico o por equipos). En ese momento, aparecerá un PIN en la pantalla.Ahora, cada jugador desde un dispositivo electrónico (móvil, tableta u ordenador) puede entrar en kahoot.it e introduce el PIN del juego. También se pueden descargar la aplicación para móviles, pero creo que no es necesario si se va a usar poco.Cada jugador elige un NICKNAME para jugar. Por supuesto, el profesor puede echar del juego a aquellos que usen nicks, digamos, poco adecuados.Una vez que todos los jugadores se han registrado se lanza el juego. Cada pregunta consta de una breve frase explicativa de un personaje.Izquierda: Lo que se ve en la pantalla del proyector.Derecha: Lo que se ve en cada dispositivo del jugador.Al cabo de 20 segundos aparecerá una imagen del personaje así como 4 opciones. En los dispositivos móviles, aparecerá lo que veis en la imagenIzquierda: Lo que se ve en la pantalla del proyector.Derecha: Lo que se ve en cada dispositivo del jugador.Si aciertas ganas puntos: más cuanto más rápido lo hagas.El juego va guardando las puntuaciones y las respuestas dadas y va generando una tabla clasificatoria que se puede ver al cabo de cada pregunta. Al finalizar el juego, el profesor puede descargarse en formato compatible con EXCEL los resultados de todas las respuestas de todos los usuarios para poder proceder a la evaluación de la actividad, si lo desea.Pues eso, espero que os guste el juego. Para jugar NO ES NECESARIO REGISTRARSE NI NDAD. Pero para poder hacer otros juegos como éste, sí. Por supuesto, si queréis, sois libres de copiar y editar este juego a vuestro antojo. De hecho, hace unos días extraje las 11 mujeres del juego y creé una versión para el Día internacional de la mujer y la niña en la Ciencia y que titulé 11 febrero - 11 mujeres.Que lo disfrutéis.Tito Eliatron DixitPD: Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.    Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas #CarnaMat81: 21-28 de febrero

Fri, 17 Feb 2017 14:44:42 PST

8 es un número natural que está entre 7 y 9.8 es la tercera potencia natural de 2.8 es un millar binario.8 es el sexto número de la sucesión de Fibonacci.8 es un 0 con el cinturón apretao.8 es, finalmente, el año carnavalesco que comienza con esta edición. Así pues, por la presente convoco la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas entre los días 21 y 28 de febrero.La forma de participar en este evento es la habitual. Si dispones de un blog, escribe una entrada que tenga que ver con las Matemáticas (da igual de qué forma, sólo han de aparecer de algún modo) entre los días 21 y 28 de febrero. En dicha entrada deberás incluir una mención expresa a la participación de tu post en la presente edición así como un enlace al blog anfitrión (preferentemente a esta misma entrada). Una sugerencia sería la siguiente:Esta entrada participa en la Edición 8.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.Al finalizar el plazo publicaremos un resumen con todas las entradas que hayan concurrido y convocaremos el Premio a la Mejor Entrada. Pero para facilitar el trabajo de recopilación, es necesario que nos ayudes. Puedes hacernos llegar tu entrada de alguna de las siguientes formas:Mediante un comentario a este mismo post, incluyendo un enlace a tu entrada.A través de twitter, incluyendo un enlace a tu entrada con el hashtag #CarnaMat81 y una mención a la cuenta @eliatron y a @CarnaMat.Para finalizar, os dejamos con los resúmenes de las 70 ediciones anteriores: Primer añoPrimera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron DixitSegunda Edición (15/03/2010) en Juan Mairena [v.2.71828]Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría DinámicaCuarta Edición (17/05/2010) en ZurditoriumQuinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por BarcedavidSexta Edición (27/09/2010) en Blog de SangakooSéptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de TuringOctava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente SeriaNovena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la TrébedeDécima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula FrancisSegundo añoEdición 2.2 (28/03/2011) en GaussianosEdición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seriaEdición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras ClarasEdición 2.5 (02/07/2011) en Juegos TopológicosEdición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca EsféricaEdición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la CienciaEdición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia ConjuntaEdición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tesEdición 2.X (30/01/2012) en Resistencia NumantinaEdición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron DixitTercer añoEdición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia EstEdición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de CienciaEdición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROSEdición 3.1415 (29/05/2012) en GaussianosEdición 3.14159 (29/06/2012) en ScientiaEdición 3.141592 (01/10/2012) en ::ZTFNewsEdición 3.1415926 (29/10/2012) en Series DivergentesEdición 3.14159265 (02/12/2012) en PimediosEdición 3.141592653 (27/12/2012) en Que no te aburran las M@tesEdición 3.1415926535 (30/01/2013) en La Aventura de la CienciaCuarto añoEdición 4.1 (26/02/2013) en Tito Eliatron DixitEdición 4.12 (24/03/2013) en High Ability DimensionEdicón 4.123 (01/05/2013) en EulerianosEdición 4.1231 (27/05/2013) en Matemáticas interactivas y ManipulativasEdición 4.12310 (28/06/2013) en Geometría DinámicaEdición 4.123105 (30/09/2013) en Cifras y TeclasEdición 4.1231056 (02/11/2013) en ScientiaEdición 4.12310562 (29/11/2013) en orgEdición 4.123105262 (02/01/2014) en Que no te aburran las M@TESEdición 4.1231056216 (06/02/2014) en Cuentos CuánticosQuinto añoEdición 5.1 Rey Pastor (04/03/2014) en Tito Eliatron Dixi[...]



11 de febrero - 11 matemáticas

Fri, 10 Feb 2017 03:41:38 PST

Con motivo del Día internacional de la mujer y la niña en la Ciencia os presento un recurso didáctico en forma de juego de preguntas y respuestas. Se trata de un Kahoot en el que aparecen 11 rostros de mujeres matemáticas que todos deberíamos conocer, acompañados de una frase relevante acerca de su vida y/o obra.


El juego se llama 11 de Febrero - 11 Matemáticas y podéis acceder a él a través del enlace anterior o pinchando en la siguiente imagen.


Espero que lo disfrutéis.


Tito Eliatron Dixit

PD: Este juego es una versión de El rostro de las matemáticas en el que hay un total de 22 matemáticos famosos entre hombres y mujeres. Es otro recurso que, creo, también puede interesar.(image)



11 de febrero: mis mujeres matemáticas

Fri, 10 Feb 2017 00:56:10 PST

El 11 de febrero se celebra el Día internacional de la mujer y la niña en la Ciencia. El objetivo es ayudar aa visibilizar el trabajo de las científicas, a crear roles femeninos en los ámbitos de la ciencia y la ingeniería y que promuevan prácticas que favorezcan la igualdad de género en el ámbito científico.Y una de las formas a través de las que se ha decidido actuar es publicando en los blogs de ciencia posts sobre mujeres científicas. Este es el caso de lo que estás leyendo.Voy a hablar de las dos mujeres matemáticas que son referencia personal.Cuando me llegó esta iniciativa la verdad no sabía a quien elegir. Hay muchas mujeres matemáticas cuya vida y obra son apasionantes. Concretamente, una de mis favoritas es Sofia Kovalebskaya. Pero realmente yo llegué a ella después de ser matemático y no supuso ningún cambio en mi concepción de la ciencia.Así que me puse a pensar en mujeres matemáticas que de verdad hayan tenido una repercusión personal en mi vida. Y de pronto surgieron no una sino dos: mi madre y mi esposa. A ellas les quiero dedicar este post.He tenido la gran suerte de que en mi casa, desde pequeñito he oído hablar de matemáticas. Mis padres estudiaron matemáticas y me transmitieron su amor por los números y por la docencia. Es cierto que yo siempre he tirado más por mi padre en cuestiones matemáticas, pero sin duda mi madre ha sido fundamental en mi vida. Siempre con una sonrisa, siempre con palabras de comprensión hacia mis dudas. Siempre empujándome hacia adelante. Siempre ayudándome a levantar. Siempre ahí. Siempre. Es cierto que, en honor a la verdad, también ha estado mi padre haciendo lo mismo. Pero el amor con que una madre te mira y te besa cuando consigues un logro personal académico... no tiene precio.Quizás mi madre no es una científica de renombre. Pero para mí, su ejemplo ha sido fundamental para decidirme a estudiar matemáticas y a dedicarme en cuerpo y alma a ellas.Pero, como diría mi abuela, es ley de vida que los hijos abandonen el nido para crear su propia familia. Y es en este punto donde aparece la segunda mujer matemática de mi vida: mi esposa.Con ella compartí años de estudio de la carrera. Con ella compartí muchas alegrías y alguna lágrima. Con ella compartí ilusiones y esperanzas cuando acabamos. Con ella aprendí a escribir matemáticas (LaTeX lo aprendí gracias a ella). Con ella viví momentos increíbles en mi vida matemática: una tesina, una estancia de 3 meses en Alemania, una Tesis doctoral. Ella me ha aguantado veranos enteros estudiando para hacer artículos sin una mala cara. Con ella pasamos momentos difíciles cuando yo estaba trabajando en Madrid y ella estaba en Sevilla preparando oposiciones. Han sido muchos fines de semana sin poder salir, mucho sacrificio juntos. Pero el resultado ha merecido la pena.Ahora ella me ayuda en mis clases del MAES y yo a veces voy a sus clases a dar charlas de matemagia. A la hora de comer, a veces ella me pregunta por algo que han hecho sus alumnos y que le ha sorprendido y yo hago hasta un GeoGebra para ayudar. Otras soy yo el que pregunto porque sé que esos años estudiando oposiciones han hecho que tenga muchos más recursos de los que muchos compañeros nuestros tienen. Es a ella a quien acudo en primer lugar.Quizás mi esposa no sea una matemática de renombre. Pero para mí, su ejemplo está siendo clave para seguir todos los días adelante y sintiendo que las Matemáticas merecen la pena.Quien sabe si sin mi madre me hubiese dedicado a las matemáticas.Quien sabe si sin mi mujer las hubiese abandonado en momentos difíciles.Lo cierto es que en mi vida, ellas han tomado partida.Quizás no salgan en los libros de historia, pero en mi vida están en el cuadro de honor.Tito Eliatron Dixit   Esta entrada se ha publicado originalmen[...]



El Cuerno de Gabriel o las matemáticas de la vuvuzela.

Tue, 24 Jan 2017 02:59:44 PST

Cuenta la leyenda, que un día el Arcángel San Gabriel hará sonar su cuerno.Extraído de Flickr  Y entonces comenzará el Apocalipsis allowfullscreen="" frameborder="0" height="360" src="https://www.youtube.com/embed/vLDtJro6dcM?rel=0" width="640">Escena extraída de Así en el cielo como en la tierraPero tranquilos, ¿eh? que aún no ha llegado el día del Juicio Final, ni siquiera el del EXAMEN FINAL (por ahora sólo vamos por los Primeros Parciales). Además, esto es un blog de matemáticas y de matemáticas vamos a hablar. En concreto del objeto matemático conocido como Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli. (en honor a Evangelista Torricelli quien, al parecer, ideó este objeto allá por 1641).En primer lugar, vamos con la descripción. Consideremos la curva de ecuación $f(x)=\frac{1}{x}$:Pero quedémonos solo con la parte que va desde $x=1$ hasta $+\infty$ y hagámosla rotar alrededor del eje $OX$.Lo que nos queda... es una vuvuzela:solo que ésta llega (por el lado derecho) hasta el infinito haciéndose cada vez más y más estrecho.Pues bien, señores, como antaño no conocían las grandezas de los animadores futboleros sudafricanos, a semejante objeto tuvieron a bien ponerle el nombre de Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli, teniendo el primero de ellos un nombre así como APOCALÍPTICCO.Y es que las propiedades de este objeto matemático en su día casi resultan apocalípticas.En primer lugar, ¿Qué área hay entre el trozo de hipérbola y el eje $OX$? Basta resolver una sencilla integral impropia:$$A=\int_1^{+\infty}f(x)\,dx =\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=\ln(x)\bigg|_1^{+\infty}=\ln(+\infty)=+\infty.$$Más aún, ¿Cuánto mide el área de la superficie de revolución que genera?$$S=2\pi\int_1^{+\infty}f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx\ge2\pi\int_1^{+\infty}f(x)\,dx=2\pi A=+\infty$$ luego $S=+\infty$. Vamos, que nuestra vuvuzela infinita se genera a partir de un área infinita y para recubrirla necesitamos una cantidad infinita de papel de regalo.Hasta aquí todo normal (salvo el dinero que nos gastaríamos si quisiéramos regalar a alguien una trompetita de estas). Lo chungo viene ahora. ¿Cual es el volumen que encierra la vuvuzela? Vamos allá:$$V=\pi\int_1^{+\infty}f(x)^2\,dx=\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\pi\left(\frac{-1}{x}\bigg|_1^{+\infty}\right) =\pi\left(\frac{-1}{+\infty}-\frac{-1}{1}\right)=\pi.$$¡Ahí va, mi madre! Un chisme que necesito una cantidad infinita de papel de regalo para envolverlo... pero sólo necesito una cantidad finita ($ \pi\, ua^2$) de pelotillas de papel para rellenarla. O visto de otro modo. Si quieres pintar por dentro tu vuvuzela infinita, en vez de pasar la brocha por la superficie (cosa que te saldría carísimo) te trae más a cuenta ponerle un tapón en el infinito y llenarla de pintura líquida. ¿Es o no es APOCALÍPTICO este objeto matemático?Todo esto no deja de ser una mera anécdota hoy en día. Pero en el siglo XVII todo esto del infinito no se acababa de comprender bien y generaba bastantes quebraderos de cabeza a la sociedad matemática contemporánea. Cosas del Cálculo Infinitesimal.Pero aquí no queda la cosa. Hemos encontrado un objeto de revolución con superficie lateral infinita y volumen finito: un sólido que se puede rellenar pero no pintar. ¿Existirá un objeto que se pueda pintar pero no rellenar? Más matemático, ¿habrá un objeto (de revolución) con superficie lateral finita pero volumen infinito?Gracias a van Maanen [1] sabemos que NO. Vamos a precisar un poquito más (y simplificar algo). Supongamos que tenemos una función $\displaystyle f:[1,+\infty)\to[0,+\infty)$ continua y derivable (y con derivada continua, por si acaso) y sea $C$ el cuerpo de obtenido al girar alrededor del eje $OX$ el recinto $\{(x,y)\in{\mathbb R}^2:\ 1\le x,\, 0\le y\le f(x[...]



Números primos y decimales de π

Wed, 28 Dec 2016 15:24:30 PST

Esta entrada es una InocentadaQue el número $\pi$ tiene algo especial, ya lo sabemos todos. Que algo extraño pasa con los números primos, también lo sabemos. Pero el que mejor conoce a ambos es el matemático australiano Terry Tao. Y es él quien ha descubierto recientemente una curiosa relación entre ambos.Terry Tao y un servidor en Sevilla en 2008Todos sabemos que Terry Tao, medalla Fields en el año 2006, es, probablemente, el matemático que mejor ha escudriñado en los secretos de los números primos (véase la charla que dio en Sevilla en 2008).  Además, su insaciable sed de conocimiento le ha llevado a poner en marcha los proyectos PolyMath en los que matemáticos de todo el mundo colaboran para resolver problemas de extrema dificultad.Como consecuencia de uno del proyecto número 12 Understanding the behavior and structure of covering arrays parece ser que Tao ha encontrado una fórmula para encontrar el enésimo número primo, sea cual sea el natural $n$ elegido. Y la sorpresa está en que dicha fórmula está estrechamente relacionada con el número $\pi$.En un addenda a un post de hace menos de 1 año, Tao explica cómo obtener dicha fórmula. Si mi inglés no me falla, viene a ser lo siguiente.El enésimo número primo comenzará en la posición que determine el siguiente polinomio de grado 20.Aquí os lo dejo en formato seleccionable:-(11097956568928106344073156323/3707614147359906201600000) + ( 9701484620203607114942329806996213637439557 \ x)/1798770602759360671761704945713152000000 - ( 1865960907891724133695294819313681230134691 \ x^2)/449692650689840167940426236428288000000 + ( 142617819273634020074402518167184243654387 \ x^3)/78207417511276550946161084596224000000 - ( 810766608093296211486899318836622380657 \ x^4)/1572351925488951636155336491008000000 + ( 391986509283556574408350594244628359339 \ x^5)/3910370875563827547308054229811200000 - ( 393118003976760651689912799774016074763 \ x^6)/28105790668115010496276639776768000000 + ( 1102175072739216540766295131539061409 \ x^7)/763484975704312679016003796992000000 - ( 4603107306145014554683949841193059209 \ x^8)/40881150062712742540038748766208000000 + ( 6058061272338282612380932439414245459 \ x^9)/899385301379680335880852472856576000000 - ( 8227503902595352481618225288551 \ x^10)/26374935524330801638734676623360000 + ( 10103333554558194371247288696311131 \ x^11)/899385301379680335880852472856576000000 - ( 70705834594569768505891386800543 \ x^12)/224846325344920083970213118214144000000 + ( 3060232208366048996721415612229 \ x^13)/449692650689840167940426236428288000000 - ( 44227044952848142710426373 \ x^14)/393087981372237909038834122752000000 + ( 125226026245005007073446693 \ x^15)/89938530137968033588085247285657600000 - ( 11211107104619920570851521 \ x^16)/899385301379680335880852472856576000000 + ( 136970215563112821332669 \ x^17)/1798770602759360671761704945713152000000 - ( 892012488203717873 x^18)/3144703850977903272310672982016000000 + ( 5425784489122493 x^19)/11172488215896650135165869228032000000 Según dice Tao, su fórmula no detecta la primera aparición (que es lo que hasta ahora se ha estado buscando) sino que afirma que en dicha posición comienza el enésimo primo y que, posiblemente, pueda aparecer antes alguna vez.Por ejemplo, podéis comprobar (yo lo he hecho con el Mathematica) que la fórmula dice que el 5 aparece en la 10ª posición (cosa que es cierto), pero este número también aparece en las posiciones 4 y 8 de $\pi$.Este nuevo descubrimiento puede parecer una mera curiosidad. Pero la potencia actual de los ordenadores permite hacer una búsqueda extremadamente rápida y precisa en una cadena numérica extra larga. Y esto es un problema. Pues toda nuestra seguridad informática radica en la dificultad de en[...]



Dile a tu cuñado esta noche que te ha tocado El Gordo

Sat, 24 Dec 2016 01:00:19 PST

Se acerca la Noche buena y todos sabemos lo que pasa: Así que desde Tito Eliatron Dixit te vamos a dar la solución.Dile a tu cuñado que te ha tocado El Gordo. - Sí, sí, el Gordo de la Lotería, no el señor con sobrepeso que vive en el rellano del Quinto.- Es que yo soy bueno y no me gusta decir mentiras.- No pasa nada. Ya te he dicho que desde Tito Eliatron Dixit te vamos a ayudar.Si a pesar de lo casposo que ha sido la introducción de este post sigues leyendo (eso no sé si dice mucho de ti), de verdad que vas a poder decir que te ha tocado EL GORDO.Todos los días 22 de diciembre estamos acostumbrados a la parafernalia un tanto exagerada ya del Sorteo Extraordinario de Navidad. Una liturgia un tanto anticuada y poco adaptada a los nuevos tiempos.¿Por qué perder toda una mañana viendo a unos pobres niños -explotados- cantando números y premios cuando una máquina lo puede hacer por nosotros en un segundo?Pues eso es lo que os traigo. Unas pocas instrucciones de MATHEMATICA para simular, cuantas veces quieras, el Sorteo de Navidad:premios123 = {"EL GORDO EL GORDO", "Segundo (2)", "Tercero (3)"};premios4 = Table["Cuarto (4)", {2}];premios5 = Table["Quinto (5)", {8}];pedrea = Table["pedrea", {1794}];premios = RandomSample [Join[premios123, premios4, premios5, pedrea]];numerospremiados = RandomSample[Range[100000] - 1, Length[premios]];Grid[Join[ {Flatten[Table[{"Posición", "Número", "Premio"}, {13}]]},   Table[   Flatten[    Table[     {i + 138 j, numerospremiados[[i + 138 j]],       premios[[i + 138 j]]}, {j, 0, 12}     ]    ]   , {i, 1, 138}   ]], Frame -> All, ItemSize ->; All]Estas órdenes son tremendamente simples, no hay nada de extraordinario aquí. Es un simple juego que he hecho para mis alumnos de Prácticas de Mathematica. Pero gracias a este script (voy a llamarlo así) podemos juguetear un poco y hacer tantos sorteos como queramos en un corto espacio de tiempo... o hasta que nuestro número sea el agraciado con El Gordo y así podamos decirselo (sin miedo a mentir) a nuestro Cuñao en Nochebuena.Una breve explicación de las órdenes.Las 4 primeras generan tablas con los nombres de los premios. En la quinta orden, uno todas las tablas y la reordeno aleatoriamente (esto es el equivalente a sacar una bola del bombo de premios). La sexta orden toma todos los números del 0 al 99999 y extrae (sin reemplazamiento) tantas bolas como premios haya, lo que equivale a sacar los números del bombo.En la última orden, presento los datos en formato tabla: a cada premio su número, según el orden de extracción. Lo que pasa es que como saldría una tabla muy larga, la he preparada para poner los datos en un 138 filas y 13x3 columnas.Aquí os dejo una imagen del Gordo en una ejecución de este Script:Ahora con una imagen completa del resultado Para verla en grande, tendréis que decargarla... o bien, decargaros el PDF que he generado.Y ya que estamos, os dejo con otro pequeño código que os permitirá repetir el sorteo 100 veces (o las que queráis, poniendo el numerito adecuado) y os dirá EL GORDO en cada una de ellasDo[ premios123 = {"EL GORDO EL GORDO", "Segundo (2)", "Tercero (3)"}; premios4 = Table["Cuarto (4)", {2}]; premios5 = Table["Quinto (5)", {8}]; pedrea = Table["pedrea", {1794}];  premios = RandomSample [Join[premios123, premios4, premios5, pedrea]]; numerospremiados = RandomSample[Range[100000] - 1, Length[premios]]; posgordo = Flatten[Position[premios, "EL GORDO EL GORDO"]][[1]]; numgordo = numerospremiados[[posgordo]]; Print["EL Gordo del sorteo nº", PaddedForm[i, 3], "  ha s[...]



We are the champions

Fri, 23 Dec 2016 00:44:48 PST

Vale. El título es un poco pretencioso.Pero es que más de 3 años después, he vuelto a conseguir ganar el Premio al mejor post del Carnaval de Matemáticas en su Edición de Noviembre de 2016 con la entradaCuando la inducción no es el camino más corto... y algo más.Como podéis comprobar en la barra lateral, este blog que fue el impulsor de esta idea, tan sólo lo ha ganado 2 veces (prueba de la inmensa calidad de las aportaciones que se han hecho). Y la verdad es que me hace una tremenda ilusión. Sobre todo porque en esta ocasión lo he conseguido con una entrada seria en la que se habla de matemáticas en un sentido estricto (la anterior ocasión, fue una entrada humorística sobre una curiosidad numérica).Pues eso, que desde estas líneas quiero agradecer a todos los votantes (en especial a los 3 que me han votado: Juan Martínez Tébar, Miguel Ángel Morales y Javier Wagner), a todos los qe alguna vez han participado en el Carnaval de Matemáticas y, sobre todo, a la anfitriona de la Edición 7.8: Elisa Benítez.MUCHAS GRACIASTito Eliatron DixitPD: Y como no podía ser de otra forma. Esta entrada participa en la Edición 7.9 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog de José Luis Muñoz.   Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Cuando la inducción no es el camino más corto... y algo más.

Fri, 25 Nov 2016 00:32:53 PST

El Principio de inducción matemática es un método que permite demostrar que una cierta propiedad se cumple para cualquier número natural (o cualquiera, a partir de uno determinado). Ya hemos visto algunas cosas curiosas en este blog usando la inducción.Cuando uno explica este principio en clase, a menudo los alumnos creen que, a partir de ese momento, todo lo que diga "Prueba esto para cada  $n\in{\mathbb N}$" se hace SIEMPRE por inducción. Afortunadamente, éste no es siempre el caso.En este artículo vamos a ver dos ejemplos de propiedades que, aunque se pueden demostrar por inducción, pueden probarse de una forma más elegante y corta.El primer ejemplo es un clásico. Demostrar que $n^3-n$ es divisible entre 6 para cada número natural $n\ge 1$.Por inducción, os lo dejo a vosotros. Pero una prueba más elegante consiste en ver que $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ por lo que $n^3-n$ es el producto de 3 números naturales consecutivos. Por lo tanto seguro que entre ellos hay un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3. Así que seguro que el producto será múltiplo de 6.Una variante de este problema es demostrar que para cada $n$ impar, $n^3-n$ es múltiplo de 24. Se puede probar por inducción sobre $k$, siendo $n=2k-1$ y $k\in{\mathbb N}$. Pero también se puede tratar de abordar como antes. Ya sabemos que $n^3-n$ es siempre (no sólo para los impares) divisible entre 6 luego, en particular, es múltiplo de 3. Ahora bien, si $n$ es impar, resulta que tanto $n-1$ como $n+1$ son pares y, de hecho, uno de ellos ha de ser múltiplo de 4 (tened en cuenta que en los pares se intercalan los múltiplos 4 y los no múltiplos de 4). Por lo tanto, $(n-1)(n+1)$ es múltiplo de 8 para $n$ impar, luego también lo será $n^3-n=(n-1)n(n+1)$. Así pues hemos demostrado que $n^3-n$ es múltiplo de 3 y de 8, luego ha de serlo de 24.El segundo ejemplo también es clásico entre las hojas de problemas, lo que ya no había visto antes es la prueba alternativa. La propiedad es demostrar (voy a poner un número cualquiera, pero vale poner el que os dé la gana) que $39^n-1$ es divisible entre 38. De nuevo la prueba por inducción es sencilla. Veamos la alternativa.Para ello, consideremos para cada $n\in{\mathbb N}$ el polinomio $p_n(x):=x^n-1$. Como $p_n(1)=0$ sea cual sea $n$, el Teorema del Resto (ese que se explica en secundaria) nos garantiza que $p_n(x)$ es divisible entre $x-1$. Y esto es válido sea cual sea $x\in{\mathbb R}$, por lo tanto para $x=39$. Así que $39^n-1=p_n(39)$ es divisible entre $39-1=38$.Más aún. Esta prueba nos dice que, sea cual sea el número $p\in{\mathbb N}$, resulta que $p^n-1$ es siempre divisible entre $p-1$.Y como regalo, os dejo que tratéis de demostrar que para cada $n$ impar, $2016^n+1$ es múltiplo de $2017$. ¡Hala!Y ya para concluir... algo más. ¿Por qué diablos has puesto $39^n-1$? Pues porque tal día como hoy, hace 39 años, un servidor vio la luz del día por primera vez. Vamos que hoy cumplo 39 años. Y este es mi auto-regalo.Tito Eliatron DixitPD1: Queridos alumnos del Grupo 1 de la Asignatura Análisis Matemático del Grado en Física de la Universidad de Sevilla. Si leéis este post antes del lunes, os permitiré usarlo en el trabajo si y sólo si hacéis mención expresa en el mismo a este post. Caso contrario consideraré que habéis copiado.PD2: Esta entrada participa en la Edición 7.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog “Que no te aburran las M@tes” cuyo anfitrión es Elisa Benítez Jiménez.   Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves [...]



De polar a cartesiana y viceversa

Wed, 02 Nov 2016 09:30:38 PDT

Creo que a día de hoy todos sabemos que las coordenadas cartesianas son perfectas par representar rectángulos y cuadrados, mientras que las coordenadas polares son muy útiles para las circunferencias y rectas que pasan por le origen. Pues bien, si veis el vídeo que os pondré a continuación, quizás ésto no os quede tan claro.


allowfullscreen="" frameborder="0" height="360" src="https://www.youtube.com/embed/oWfFco7K9v8?rel=0" width="640">
Ambiguous cylinder illusion

Este vídeo es, como habréis podido comprobar, una ilusión óptica que juega con circunfernecias y rectángulos. Se trata de la Mejor Ilusión Óptica del Año 2016 y ha sido creada por Kokichi Sugihara.

Os recomiendo que bicheéis en la web antes referenciada para ver otras ilusiones igualmente brllantes.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria. (image)



The Scottish Book [Naukas Bilbao 2016]

Tue, 27 Sep 2016 14:07:21 PDT

Como viene siendo habitual, cada mes de septiembre se celebra en Bilbao el, posiblemente, mejor evento de divulgación científica en España. Me refiero a Naukas Bilbao 2016. Y como también viene siendo habitual, un servidor ha participado en dicho evento con una charla sobre matemáticas.En el presente año 2016, el título ha sido The Scottish Book y, a continuación os dejo con el vídeo de la misma y con la presentación que utilicé.y con la presentación que se puso allowfullscreen="" frameborder="0" height="485" marginheight="0" marginwidth="0" scrolling="no" src="//www.slideshare.net/slideshow/embed_code/key/xs2U75V5URcV5M" style="border-width: 1px; border: 1px solid #ccc; margin-bottom: 5px; max-width: 100%;" width="595"> El Cuaderno Escocés from Tito Eliatron Espero que os guste.Tito Eliatron DixitPD: Si queréis saber más sobre el tema, os recomiendo que leáis a Gaussianos y los enlaces que derivan de la Wikipedia.PD2: Si queréis un estupendo resumen del evento completo, leed a Biogeocarlos.PD3: Esta entrada participa en la Edición 7.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.   Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Una demostración "elemental" del problema de Basilea

Sun, 20 Nov 2016 14:34:54 PST

Como muchos de vosotros sabéis, el Problema de Basilea consistía en calcular cuánto vale la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir, calcular$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$La historia que hay detrás de este problema es muy bonita y os recomiendo que leáis el artículo de Gaussianos que enlazo en la primera frase.Os resumo un poco el final. En la segunda mitad del siglo XVII, ya se conocía que esta suma era finita, pero ninguno de los matemáticos que atacaron el problema (gente como Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli, Leibniz y Wallis, por ejemplo) puedieron con él. Fue, sin embargo el príncipe de las matemáticas, Leonhard Euler quien, con una facilidad asombrosa, no sólo calculó esta suma sino todas las del tipo$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2k}}\ \text{con}\ k\in{\mathbb N}.$$Por cierto que la solución es $\pi^2/6$.Sin emabrgo, la prueba de Euler contenía alguna omisión. Esta omisión es lo que hoy en día se conoce como Teorema de Mittag-Leffer y es uno de los resultados duros de un curso de Variable Compleja.Se conocen varias demostraciones de esta suma. Quizás la más conocida (la que a mi me enseñaron) es la que hace uso del desarrollo en Series de Fourier de la función ${\rm sen}(x)$. Pero tiene como problema que hay que estudiar Series de Fourier, y esto suele darse en un segundo curso del Matemáticas.A continuación os voy a presentar una demostración "elemental" del Problema de Basilea. Una demostración que está al alcance, incluso, de alumnos de Bachillerato y que tan sólo hace uso del concepto de límite y de integral.Sea $I_n:=\int_0^{\pi/2} \cos^{2n}(x)\,dx$ y sea $J_n:=\int_0^{\pi/2} x^2\cos^{2n}(x)\, dx$. Son 2 integrales sencillas, sin apenas complicaciones. Además, claramente $I_0=\pi/2$ y $J_0=\pi^3/24$ (esto os lo dejo como ejercicio, jejejej).Si $n\ge 1$, vamos a tratar de usar el Método de Integración por Partes (sí, ese de "un día ví una vaca vestida de uniforme") en $I_n$ con $dv=\cos(x)\,dx$ y, por tanto, $u(x)=\cos^{2n-1}(x)$. Entonces:$$I_n={\rm sen}(x)\cos^{2n-1}(x)\bigg|_0^{\pi/2}+(2n-1)\int_0^{\pi/2} {\rm sen}^2(x) \cos^{2n-2}(x)\,dx.$$ El primer sumando es claramente nulo; y teniendo en cuenta que ${\rm sen}^2(x)=1-\cos^2(x)$ , entonces se tiene que $I_n=(2n-1)(I_{n-1}-I_n)$ y, entonces,$$I_n=\frac{2n-1}{2n} I_{n-1}.\qquad\qquad(1)$$ Por otro lado, si en $I_n$ hacemos  (Esta vez, os lo creéis o lo hacéis vosotros mismos) integración por partes dos veces, la primera con $dv=dx$ y la segunda con $dv=2xdx$, obtenemos que$$I_n=n(2n-1)J_{n-1}-2n^2J_n. \qquad\qquad(2)$$ Ahora vamos a dividir la igualdad (2) entre $n^2 I_n$ y, en el primer sumando, vamos a aplicar (1):$$\frac{1}{n^2}=\frac{I_n}{n^2 _n}= \frac{2n-1}{n}\cdot\frac{J_{n-1}}{I_n}-2\frac{J_n}{I_n} = 2\left( \frac{J_{n-1}}{I_{n-1}}-\frac{J_n}{I_n}\right).$$Entonces, tenemos escrito $1/n^2$ como suma telescópica:$$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2} = 2 \sum_{n=1}^N \left( \frac{J_{n-1}}{I_{n-1}}-\frac{J_n}{I_n}\right) = 2\left(\frac{J_0}{I_0}-\frac{J_N}{I_N}\right)=\frac{\pi^2}{6}-2\cdot\frac{J_N}{I_N}$$ Para acabar, sólo tenemos que ver que  $\displaystyle \lim_{N\to\infty} \frac{J_N}{I_N}=0$.Para ello, teniendo en cuenta que si $0\le x\le \pi/2$ entonces es $0\le x\le (\pi/2) {\rm sen} (x)$, se tiene que $$ 0\le J_N \le \frac{\pi^2}{4} \int_0^{\pi/2} {\rm sen}^2(x) \cos^{2N}(x)\, dx =\frac{\pi^2}{4}(I_N-I_{N-1})= \frac{\pi^2}{4}\cdot \frac{1}{2N+2} I_N,$$  por lo que la Regla del Sandwich nos dice que $J_N/I_N\to 0$ y acabamos la demostración.Espero que os haya gustado. A mí, bastante. Tato que el[...]



Una prueba alternativa de la derivada del producto

Tue, 24 May 2016 01:04:03 PDT

Una de las reglas de derivación que más se utilizan es la derivada de un producto de funciones. Creo que todo estudiante de bachillerato la conoce:Pero quizás lo que se vea menos es la demostración de esta propiedad. Y quizás la razón es que es poco intuitiva (para un alumno de bachillerato o primer curso de una carrera científico-técnica). La demostración estándar la podéis encontrar en la wikipedia, por ejemplo. Aquí os traigo otra demostración mucho más sencilla e intuitiva que he encontrado a través de Facebook (siento no tener el enlace).Vamos allá.En primer lugar, vamos a demostrar que y lo vamos a hacer por fuerza bruta, usando la definición de derivada como límite de cocientes incrementales.Bien, una vez que sabemos  derivar cuadrados (que en el fondo es un caso particular de un producto), podemos pasar al caso general. Para ello, podemos actuar de 2 maneras.En la primera, consideramos la función y la tratamos de derivar. Resulta que, aplicando la regla del cuadrado, tenemos que pero desarrollando previamente el cuadrado y luego derivando, tenemos queY comparando ambos resultados se tiene la regla del producto.También podríamos haberla derivado sin más que darse cuenta de que , por lo que.Espero que esta forma os resulte algo más intuitiva. A mí, particularmente, sí.Referencias:Piotr Josevich, An Alternative Approach to the Product Rule, American Mathematical Monthly 123 (2016), 470.Tito Eliatron DixitPD: Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.    Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



El número π, el principio del palomar... y el caos.

Mon, 25 Apr 2016 01:46:24 PDT

Todos sabemos que es un número irracional y, como tal, posee infinitos decimales no periódicos. De los decimales de se han dicho muchas cosas, como por ejemplo, que en ellos está contenido todo el universo (aunque de esto no estamos aún seguros). Pero lo que sí podemos decir es lo siguiente.Fíjate en la sucesión de los múltiplos de , es decir, .  Ahora olvídate de la parte entera y quédate solo con sus decimales: .  Pues bien, vamos a demostrar que la sucesión es densa en todo el intervalo , es decir, que cualquier número de dicho intervalo se puede aproximar tanto como queramos mediante términos de .Vamos allá. En primer lugar, veamos que todos los términos de son diferentes.Supongamos que hay 2 términos de que son iguales, es decir, existen tales que pero que , es decir, ; pero de aquí se puede deducir que Pero esto es imposible, porque esto significaría que   sería racional. Por lo tanto tenemos que todos los elementos de son diferentes. Vamos que tenemos infinitos elementos.Ahora vamos a usar el Principio del Palomar. Fijemos un número natural y dividamos el intervalo en intervalos de amplitud (los palomares), es decir, con .Ahora tenemos palomas, es decir, los números . Por lo tanto, habrá 2 palomas en algún palomar, o dicho de otro modo, existirán con tales que y estarán en el mismo intervalo de la forma . En particular, se tiene que . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que se tiene .  Pero como , se tiene que.Daos cuenta ahora que para cada , la distancia entre y  es menor que . Además, cada intervalo tiene longitud exactamente . Por lo tanto, en cada uno de estos intervalos habrá un número de la forma con . Pero, igual que hemos hecho hace un momento, resulta que .En resumen, para cada y cada , existe un número natural tal que Por último, para cada cualquier número estará en alguno de los intervalos de la forma , luego estará a una distancia menor que de un elemento de .Con esto demostramos que es denso en .Hasta ahora, los ingredientes que hemos usado son el número π y el principio del palomar (además de un argumento quizás algo técnico). Pero... ¿dónde está aquí el caos?Una posible definición de caos ya la vimos en este mismo blog. Esta definición (la de Devaney) impone 3 condiciones, aunque en el caso de sistemas dinámicos lineales, bastan 2 de ellas:Existe un elemento con órbita densa.Existe una cantidad densa de puntos con órbita periódica. Pues precisamente estas dos condiciones se cumplen aquíConsideremos el sistema dinámico siguiente:   para  cada . Lo que hemos demostrado antes es que hay un elemento con órbita densa: . En realidad, el mismo argumento usado con funciona con cualquier número irracional.Lo que también podemos probar de forma muy sencilla es que si resulta que toma exactamente tantos valores como el denominador de cuando lo escribimos como su fracción irreducible. Por ejemplo, toma 4 valores .Así que, en cierto sentido, podemos decir que el sistema dinámico consistente en tomar los múltiplos enteros de un número real cualquiera y quedarte con su parte decimal, es un sistema caótico.Tito Eliatron DixitPD: Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.PD2: La idea de esta entrada era,  en un principio, demostrar que la sucesión   es densa. Esta sucesión consiste en tomar los decimales de π a partir de la posición . Traté de adecuar la demostración anterior (basándome aqu[...]



Premio #CarnaMat71

Sat, 26 Mar 2016 05:27:32 PDT

Siento el retraso debido a las (merecidas) vacaciones de Semana Santa, pero ya vengo con el fallo del jurado del Premio Carnaval de Matemáticas en su Edición 7.1: Sexto Aniversario.El ganador, con 16 puntos (4+4+4+2+2) es la entradaLas matemáticas en el cine y la publicidaddel blog La despensa de Leonardo.Aquí dejo el distintivo del ganador El resto de entradas votadas han sido las siguientes:Todo entero positivo es suma de tres capicúas (por Javier Cilleruelo) (Gaussianos) con 12 puntos (4+4+2+2)Bernar Venet, la estética de las matemáticas (Cuaderno de Cultura Científica) con 6 puntos (4+1+1)Yo es que soy de letras... pero sé contar (Naukas) con 5 puntos (2+2+1)El geógrafo Pedro Nunes y el nonius (pimedios) con 5 puntos (2+2+1)App M@tes para Móviles_III (Que no te aburran las M@tes)  con 5 puntos (4+1)¡Así lanza Pitágoras su hipotenusa! (Matemáticas cercanas) con 4 puntos (4)La Teoría de grupos, el Cubo de Rubik y Johann Sebastian Bach (πkasle) con 4 puntos (4)Calculando la altura de un triángulo conocidos sus lados (Tito Eliatron Dixit) con 3 puntos (1+1+1)Figuras gemelas. Reto de Gardner (Animando la Web 2.0) con 3 puntos (2+1) Tito Eliatron DixitPD: Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas que alberga La Aventura de la Ciencia.    Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Resumen de la Edición 7.1 (#CarnaMat71) del Carnaval de Matemáticas

Tue, 01 Mar 2016 02:06:32 PST

21 entradas participantes de 15 blogs diferentes. Estos son los números de la Edición 7.1: Sexto Aniversario del  Carnaval de Matemáticas que finalizó el pasado domingo 28 de febrero (día de Andalucía, mi tierra).Así que sin más dilación os dejo con todas ellas por orden de publicación:Las matemáticas en el cine y la publicidad (La despensa de Leonardo)App M@tes para Móviles_III (Que no te aburran las M@tes) Entre Maestors_SMPM: Antonio Pérez (Que no te aburran las M@tes) Alan Turing y MATLAB (pimedios)Callejero Matemático XV Instituto Bernardino del Campo (Los matemáticos no son gente seria)II Encuentros GeoGebra 2016 (Que no te aburran las M@tes) El geógrafo Pedro Nunes y el nonius (pimedios)Bernar Venet, la estética de las matemáticas (Cuaderno de Cultura Científica)La Pregunta Naukas 2016 - José Antonio Prado-Bassas (Naukas)2016, ¿es un año bisiesto? (πkasle) Calculando la altura de un triángulo conocidos sus lados (Tito Eliatron Dixit)Yo es que soy de letras... pero sé contar (Naukas)¿Qué superficie topológica tengo en mis manos? (Juegos topológicos)El 26 y los capicúas (Blioquinfo)Arcos de Málaga: de herradura por arcos secantes (El mundo de Rafalillo)Encuentra los errores (Blioquinfo)Todo entero positivo es suma de tres capicúas (por Javier Cilleruelo) (Gaussianos)La Teoría de grupos, el Cubo de Rubik y Johann Sebastian Bach (πkasle)Figuras gemelas. Reto de Gardner (Animando la Web 2.0)¡Así lanza Pitágoras su hipotenusa! (Matemáticas cercanas)¿Super Once? (Matemáticas Maldonado)Por favor, si he olvidado alguna entrada, decídmelo por twitter (@eliatron) y/o en los comentarios.Ahora es tu turno para votar la entrada que más te guste. Recuerda que cada participante deberá otorgar 4, 2 y 1 punto a las 3 entradas que desee. Quienes hayan participado en la Edición, no deberán acreditar nada. Quienes no hayan participado, deberán incluir un link a su perfil de la web del Carnaval de Matemáticas. El periodo de votaciones finalizará el próximo 16 de marzo (anywhere on earth)Nos vemos en Marzo en La Aventura de la Ciencia.Tito Eliatron Dixit   Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Calculando la altura de un triangulo conocidos sus lados

Thu, 25 Feb 2016 14:32:48 PST

Hoy va la cosa de triángulos y la pregunta es sencilla. Dado un triángulo cualquiera ¿cómo calcularías (al menos) una de sus alturas? Vale, vamos a concretar algo más. Suponed que tenéis únicamente los lados de un triángulo y por supuesto, no disponéis de instrumentos de medida (ni reglas ni transportadores de ángulo ni nada que se le parezca). ¿Cómo calculáis una de sus alturas? Pensad un poco antes de continuar.Yo os ofrezco, al menos, una solución.Vamos a los casos sencillos. Si el triángulo es isósceles, la cosa es sencilla. Si llamamos a los 2 lados iguales y al otro lado (ojo, que en el caso de ser isósceles, y el argumento sigue siendo válido), resulta que la altura sobre el lado lo corta justo por la mitad:Ahora basta aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar que Bien, pero... ¿qué ocurre si nuestro triángulo es escaleno? En este caso, cabe la remota posibilidad de que el triángulo sea rectángulo (por ejemplo, ) y así resulta que hay 2 alturas que coinciden con los lados y .Pero, ¿qué pasa en general? ¿cómo podemos calcular una altura? O incluso en el caso de un triángulo (verdaderamente) isósceles, ¿cómo calculamos de forma sencilla la altura sobre uno de los lados iguales?Aquí está el problema. Y mucho me temo que un alumno (medio) de secundaria hoy por hoy no sabría resolverlo. Y no lo haría por falta de una sencilla herramienta que no se suele explicar: La Fórmula de Herón.La fórmula de Herón permite de forma relativamente sencilla calcular el área de un triángulo únicamente conocidos los lados (como es nuestro caso). Dicha fórmula, en su forma más simple, dice que: donde , es decir, el semiperímetro del triángulo.Bien, una vez conocida la herramienta adecuada, ahora basta recordar la fórmula habitual del área del  triángulo para tener que donde hemos denotado por   la altura correspondiente al lado .¿Y a ti? ¿Se te ocurre otra manera de calcular una altura de un triángulo dados, exclusivamente, sus lados? Tito Eliatron DixitPD: Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.    Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]



Edición 7.1: Sexto Aniversario del Carnaval de Matemáticas (22-28 de febrero)

Wed, 24 Feb 2016 02:10:28 PST

Seis años ya. Y aunque el cansancio aceche, aquí seguimos divulgando las matemáticas una vez al mes.Seis años ya. Y aunque el anumerismo siga siendo el pan nuestro de cada día, aquí seguimos contando matemáticas.Seis años ya. Y aunque sea difícil encontrar nuevos retos, aquí seguimos escudriñando los más recónditos lugares de las matemáticas para desvelar sus más íntimos secretos.Seis años ya. Y aquí sigue el Carnaval de Matemáticas en su Edición 7.1.Pasen y disfruten.Pues ya está todo dicho. No quiero alargarme demasiado.Por la presente os convoco a la Edición 7.1 del  Carnaval de Matemáticas quese celebrará en este blog del 22 al 28 de febrero.Para participar en la Edición 7.1: Sexto aniversario, del Carnaval de Matemáticas, basta con escribir un artículo en tu propio blog sobre algo relacionado (de la forma que creas conveniente) con las matemáticas durante las fechas en que la edición está abierta: del 22 al 28 de febrero. Además, deberás hacer mención expresa a la participación de tu post en la presente edición e incluir un vínculo al blog anfitrión Tito Eliatron Dixit y la la web del Carnaval de Matemáticas. Bastará con algo como lo siguiente:Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit. ¿Y qué pasa si quiero participar y no tengo blog? Fácil. Ante todo, te animo a que abras uno, pero si no te acabas de decidir, tienes dos opciones. La primera es escribir la entrada directamente en la web del Carnaval de Matemáticas (previo registro, claro); y la segunda es publicar la entrada en este mismo blog (por supuesto, sin perder la autoría de la entrada) como colaboración especial.Y para facilitar la labor de recopilación de entradas, es muy recomendable que nos hagas llegar tu aportación. Te dejo varias formas.La primera es mediante un tuit con el hashtag #CarnaMat71 y con mención a mi propia cuenta @eliatron y/o a la del Carnaval @CarnaMat, en el que incluyas el link a tu aportación.También puedes dejar un comentario en esta misma entrada con un link a tu aportación.Otra opción es dejando una reseña de tu entrada participante en la propia web del Carnaval de Matemáticas.Para finalizar os dejo con los resúmenes de las ediciones anteriores, 60 en total.  Primer Año Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena [v.2.71828].Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede.Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis.Segundo Año Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron DixitEdición 2.2 (28/03/2011) en GaussianosEdición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seriaEdición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras ClarasEdición 2.5 (02/07/2011) en Juegos TopológicosEdición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca EsféricaEdición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la CienciaEdición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia ConjuntaEdición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran la[...]



Homenaje (#WomeninSteam #JuevesCientíficas)

Thu, 11 Feb 2016 02:21:11 PST

Copio y pego de Naukas, a modo de introducción: La Real Sociedad Española de Física nos ha recordado que el 11 de febrero se celebra el Día de la Mujer en Ciencia y a través de un tuit nos proponía que tuiteásemos nuestra científica favorita, con el hashtag #WomeninStem. Con esto en mente, desde Tito Eliatron Dixit, participamos en esta convocatoria con este post titulado Homenaje.En mi vida, tanto personal como profesional, me he visto rodeado por muchos científicos. Pero también por algunas científicas. En el ámbito personal quiero destacar a mi madre y mi mujer, ambas matemáticas, aunque ellas no se han dedicado a la ciencia en el sentido estricto, pues han sido profesoras de secundaria (labor que me parece más ardua y, si se me permite, más importante y digna de loa). También mi tía, médico analista, luego también de formación científica.Pero este artículo pretende ser un homenaje a una científica que, en mi vida profesional, ha sido fundamental: mi directora de Tesis, Carmen Calderón Moreno.Reconozco que el encuentro no fue buscado. Mi intención original era trabajar con Luis Bernal González, una persona muy especial, de esas que rezuman saber (a él también le debo muchísimo, pero su homenaje será en otra ocasión). Pero por motivos que ahora no vienen al caso, él no se pudo hacer cargo de mí y (nunca mejor dicho para un matemático) me derivó a ella, quien recientemente se había doctorado brillantemente con él como director.Supongo que como todo doctorando, hubo momentos malos (cercanos al abandono) y otros de euforia. Pero al final, a pesar de todo (incluido a pesar -muy a pesar- de mi propia persona) la tesis salió adelante con 3 publicaciones en JCR (dos Q1 y un Q3). Quizás durante la elaboración de la tesis no me daba cuenta (quizás, no; seguro). Pero ahora sé que gracias a su persistencia e insistencia soy el científico que soy.Desde entonces han pasado ya más de 10 años, pero seguimos trabajando juntos. Os dejo imagen de nuestro último trabajo publicado:Artículo en la editorial y en ArXiV.Realmente no puedo decir nada malo de mi amiga Carmen (porque, a día de hoy, además de mi directora de tesis es ya una buena amiga). Sin ella, mi vida como investigador no hubiese sido la misma. Creo que al final hemos logrado entendernos y tenemos formas de trabajar que se complementan una con la otra de tal forma que siempre sacamos adelante nuestros proyectos. Y es que, además de investigar juntos, también nos hemos metido en divulgación. Ha sido con ella con quien durante estos últimos años he montado conferencias y proyectos de divulgación (aquí os dejo con algunos ejemplos).Pues eso. Este es mi pequeño homenaje a una mujer científica que en mi vida académica y profesional ha sido de vital importancia.Muchas gracias.Tito Eliatron DixitPD: A  modo de bio científica, os dejo algunos enlaces sobre la producción de Carmen.Ficha personal en SISIUSPerfil en MathSciNetPerfil en ZentralBlatt MATH Premio Real Academia Sevillana de Ciencias 2006 a jóvenes investigadores   Esta entrada se ha publicado originalmente en Tito Eliatron Dixit. Si la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.   SI no ves las fórmulas correctamente, entra en Tito Eliatron Dixit, donde sí podrás verlas.   [...]